Calcolo Esempi

$f (x) = (2 x + 1) \cos (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$(2 x + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 + 0)$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 2$

Passaggio 3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (- \sin (x)) + 1 (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 x \sin (x) - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$- 2 x \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x)$