Calcolo Esempi

$f (x) = (x^{3}) \sqrt[5]{2 - x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{2 - x}$ come ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{5}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 2 - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 7.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{5}$ e ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$x^{3} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 14.2

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 14.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 14.3.2

Riscrivi $- 1 x^{3}$ come $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 14.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} (3 x^{2})$

Passaggio 16

Riordina.

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Passaggio 16.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + 3 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} x^{2}$

Passaggio 16.2

Sposta ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 17

Per scrivere $3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 18

$3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ e $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 20

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 21

Moltiplica ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ per ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 21.1

Sposta ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} ({(- x + 2)}^{\frac{4}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 21.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 21.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4 + 1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 21.4

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{5}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 21.5

Dividi $5$ per $5$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 22

Semplifica $15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x + 2)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23

Semplifica.

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Passaggio 23.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 23.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 23.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 23.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 23.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.2.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.2.1.3

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.2.1.4

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.2.2

Sottrai $15 x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 16 x^{3} + 30 x^{2}$ .

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Passaggio 23.3.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 16 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.3.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $30 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.3.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.4

Scomponi $- 1$ da $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.5

Riscrivi $15$ come $- 1 (- 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) - 1 (- 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.6

Scomponi $- 1$ da $- (8 x) - 1 (- 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.7

Riscrivi $- (8 x - 15)$ come $- 1 (8 x - 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 1 (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 23.9

Riordina i fattori in $- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{2 x^{2} (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$