Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{1}{\arctan (3 t)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{\arctan (3 t)}$ come ${\arctan (3 t)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{\arctan (3 t)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = \arctan (3 t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\arctan (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\arctan (3 t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \arctan (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\arctan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $3$ da $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 (t))}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 (t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 3^{2} t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 4.2.2

$\frac{1}{1 + 9 t^{2}}$ e ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ .

$- \frac{{\arctan (3 t)}^{- 2}}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 4.2.3

Sposta ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.4.2

$- 3$ e $\frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3}{1 {\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ${\arctan (3 t)}^{2}$ per $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Scomponi ${\arctan (3 t)}^{2}$ da ${\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica per $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi ${\arctan (3 t)}^{2}$ da $9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi ${\arctan (3 t)}^{2}$ da ${\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} (1 + 9 t^{2})}$