Calcolo Esempi

$f (s) = \frac{\sqrt{s} - 1}{\sqrt{s} + 1}$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{s}$ come $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{\sqrt{s} + 1}]$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{s}$ come $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{1}{2}} + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ è $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ dove $f (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ e $g (s) = s^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $s^{\frac{1}{2}} - 1$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.3

Sposta $s^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $s$ è $0$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10

Somma $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $s^{\frac{1}{2}} + 1$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 14

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 16.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 17

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 17.2

$\frac{1}{2}$ e $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 17.3

Sposta $s^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 18

Poiché $1$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $1$ rispetto a $s$ è $0$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 19

Somma $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + (- s^{\frac{1}{2}} - - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 20.4.1

Combina i termini opposti in $s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.1.1

Sottrai $s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ da $s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4.1.2

Somma $1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1 + 1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.4.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 20.5.1

Riscrivi $\frac{\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ come un prodotto.

$\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 20.5.2

Moltiplica $\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{s^{\frac{1}{2}} {(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$