Calcolo Esempi

$f (t) = e^{2 t} \ln (t + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = e^{2 t}$ e $g (t) = \ln (t + 1)$ .

$e^{2 t} \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $t + 1$ .

$e^{2 t} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{2 t} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t + 1$ .

$e^{2 t} (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{t + 1}$ e $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (1 + 0) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} \cdot 1 + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\frac{e^{2 t}}{t + 1}$ per $1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 t$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} \cdot 2)$

Passaggio 5.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (2 \cdot e^{2 t})$

Passaggio 6

Per scrivere $\ln (t + 1) (2 e^{2 t})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \frac{\ln (t + 1) (2 e^{2 t}) (t + 1)}{t + 1}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{2 t} + \ln (t + 1) (2 e^{2 t}) (t + 1)}{t + 1}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{2 t} + 2 \ln (t + 1) e^{2 t} (t + 1)}{t + 1}$

Passaggio 8.1.1.2

Semplifica $2 \ln (t + 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} (t + 1)}{t + 1}$

Passaggio 8.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} \cdot 1}{t + 1}$

Passaggio 8.1.1.4

Moltiplica $\ln ({(t + 1)}^{2})$ per $1$ .

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t}}{t + 1}$

Passaggio 8.1.2

Riordina i fattori in $e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2})}{t + 1}$

Passaggio 8.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{2 t} t \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t}}{t + 1}$