Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{4 t}{4 + \sqrt{t}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = 4 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $4 + t^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 10

$\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $t$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11

Moltiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ per $t$ .

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Passaggio 11.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.4

Somma $- 1$ e $2$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12

Per scrivere $t^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 13

$t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 15

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 16

Sottrai $t^{\frac{1}{2}}$ da $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 17

Moltiplica $\frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 18

Combina.

$4 \frac{2 (4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 19

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 20

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 20.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 20.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{2 \cdot 4 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 21

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 22

$4$ e $\frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{4 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 23

Scomponi $2$ da $4 (8 + t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 24

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 24.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 24.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 24.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 25

Semplifica.

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Passaggio 25.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 8 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 25.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 25.3

Riordina i termini.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Passaggio 25.4

Scomponi $2$ da $2 t^{\frac{1}{2}} + 16$ .

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Passaggio 25.4.1

Scomponi $2$ da $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}}) + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Passaggio 25.4.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Passaggio 25.4.3

Scomponi $2$ da $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} + 8)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$