Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $25000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ rispetto a $t$ è $25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$ .

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ come ${(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}$ .

$25000 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

$25000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$25000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

$25000 (- {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $25000$ .

$- 25000 ({(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$

Passaggio 3.5

Poiché $11$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $11 e^{- 0.54 t}$ rispetto a $t$ è $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}])$

Passaggio 3.6

Moltiplica $11$ per $- 25000$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 0.54 t$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 0.54 t$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 0.54 t$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $- 0.54$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 0.54 t$ rispetto a $t$ è $- 0.54 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (- 0.54 \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 0.54$ per $- 275000$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \cdot 1)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $e^{- 0.54 t}$ per $1$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riordina i fattori di $148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$ .

$148500 e^{- 0.54 t} {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ .

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Passaggio 6.3.1

$\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ e $148500$ .

$\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}} e^{- 0.54 t}$

Passaggio 6.3.2

$\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ e $e^{- 0.54 t}$ .

$\frac{148500 e^{- 0.54 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$