Calcolo Esempi

$f (t) = \sqrt{\cos (3 t)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\cos (3 t)}$ come ${\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = \cos (3 t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (3 t)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 7.3

Sposta ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 t$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 8.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 t$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (3 t)$ .

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 9.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.3.2

$- 3$ e $\frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 9.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$