Calcolo Esempi

$f (x) = (3 x - 2) (4 x^{2} + 3)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 3 x - 2$ e $g (x) = 4 x^{2} + 3$ .

$(3 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(3 x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(3 x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(3 x - 2) (8 x + 0) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$(3 x - 2) (8 x) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2.6.2

Sposta $8$ alla sinistra di $3 x - 2$ .

$8 \cdot (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + 0)$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Somma $3$ e $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \cdot 3$

Passaggio 2.12.2

Sposta $3$ alla sinistra di $4 x^{2} + 3$ .

$8 (3 x - 2) x + 3 \cdot (4 x^{2} + 3)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(8 (3 x) + 8 \cdot - 2) x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$24 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Passaggio 3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$24 (x^{1} x) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Passaggio 3.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$24 (x^{1} x^{1}) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Passaggio 3.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$24 x^{1 + 1} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Passaggio 3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$24 x^{2} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$24 x^{2} - 16 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $4$ per $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 3 \cdot 3$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $3$ per $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 9$

Passaggio 3.4.9

Somma $24 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$36 x^{2} - 16 x + 9$