Calcolo Esempi

$f (x) = (4 x^{2} - 3 x + 3) \cdot (4 x^{2} + 6 x - 11)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 3$ e $g (x) = 4 x^{2} + 6 x - 11$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x - 11] + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 6 x - 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.8

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + 0) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.9

Somma $8 x + 6$ e $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 3 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.11

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.13

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.14

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.16

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.17

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + 0)$

Passaggio 2.18

Somma $8 x - 3$ e $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $1$ da $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1$ da $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $1$ da $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $1$ da $1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

Passaggio 3.2

Moltiplica $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ per $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sposta $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $6$ per $4$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x \cdot x - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Sposta $x$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 (x \cdot x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.7

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.8

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.9

Moltiplica $8$ per $3$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.2.10

Moltiplica $3$ per $6$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.3

Combina i termini opposti in $32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $24 x^{2}$ da $24 x^{2}$ .

$32 x^{3} + 0 - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $32 x^{3}$ e $0$ .

$32 x^{3} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.4

Somma $- 18 x$ e $24 x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Passaggio 3.3.5

Espandi $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.1

Sposta $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x \cdot x + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.6.1

Sposta $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.7

Moltiplica $6$ per $8$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.8

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.9

Moltiplica $8$ per $- 11$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x - 11 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.6.10

Moltiplica $- 11$ per $- 3$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

Passaggio 3.3.7

Somma $- 12 x^{2}$ e $48 x^{2}$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

Passaggio 3.3.8

Sottrai $88 x$ da $- 18 x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 106 x + 33$

Passaggio 3.4

Somma $32 x^{3}$ e $32 x^{3}$ .

$64 x^{3} + 6 x + 18 + 36 x^{2} - 106 x + 33$

Passaggio 3.5

Sottrai $106 x$ da $6 x$ .

$64 x^{3} - 100 x + 18 + 36 x^{2} + 33$

Passaggio 3.6

Somma $18$ e $33$ .

$64 x^{3} - 100 x + 36 x^{2} + 51$