Calcolo Esempi

$f (x) = (3 x - 5) (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 3 x - 5$ e $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 1] + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(3 x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(3 x - 5) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.9

Somma $6 x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.13

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.14

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + 0)$

Passaggio 2.15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.15.1

Somma $3$ e $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 3$

Passaggio 2.15.2

Sposta $3$ alla sinistra di $2 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + 3 \cdot (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x - 5) (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$18 x \cdot x^{2} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$18 x^{2 + 1} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$18 x^{3} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $6$ per $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x \cdot x - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} - 5 (- 2 x) + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.9

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} + 10 x + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.10

Sottrai $6 x^{2}$ da $- 30 x^{2}$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 3 (2 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.11

Moltiplica $2$ per $3$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.12

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.5.13

Moltiplica $3$ per $1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3$

Passaggio 3.5.14

Somma $18 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x - 3 x^{2} + 3$

Passaggio 3.5.15

Sottrai $3 x^{2}$ da $- 36 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 39 x^{2} + 10 x + 3$