Calcolo Esempi

$f (x) = {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x - 4}{x + 2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x + 2$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

$\frac{x + 2 - (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$ e $3$ .

$\frac{(x + 2 - (x - 4)) \cdot 3}{{(x + 2)}^{2}} {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2}$

Passaggio 3.8.4

Sposta $3$ alla sinistra di $x + 2 - (x - 4)$ .

$\frac{3 \cdot (x + 2 - (x - 4))}{{(x + 2)}^{2}} {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$\frac{3 (x + 2 - (x - 4))}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x + 2 - x - - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 3 (- x) + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3 x + 6 + 3 (- x) + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4.5

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$\frac{0 + 6 + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4.6

Somma $0$ e $6$ .

$\frac{6 + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4.7

Somma $6$ e $12$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4.8

Moltiplica $\frac{18}{{(x + 2)}^{2}}$ per $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4.9

Moltiplica ${(x + 2)}^{2}$ per ${(x + 2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.9.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2 + 2}}$

Passaggio 4.4.9.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{4}}$