Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{4 x}}{x^{20}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{4 x}$ e $g (x) = x^{20}$ .

$\frac{x^{20} \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{{(x^{20})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{20})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{20} \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{20 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $20$ per $2$ .

$\frac{x^{20} \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{x^{20} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x^{20} (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{x^{20} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{20} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{20} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{x^{20} (e^{4 x} \cdot 4) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$\frac{x^{20} (4 \cdot e^{4 x}) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 20$ .

$\frac{x^{20} (4 e^{4 x}) - e^{4 x} (20 x^{19})}{x^{40}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$\frac{x^{20} (4 e^{4 x}) - 20 e^{4 x} x^{19}}{x^{40}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 x^{20} e^{4 x} - 20 e^{4 x} x^{19}}{x^{40}}$

Passaggio 5.1.2

Riordina i fattori in $4 x^{20} e^{4 x} - 20 e^{4 x} x^{19}$ .

$\frac{4 x^{20} e^{4 x} - 20 x^{19} e^{4 x}}{x^{40}}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{4 e^{4 x} x^{20} - 20 e^{4 x} x^{19}}{x^{40}}$

Passaggio 5.3

Scomponi $4 e^{4 x} x^{19}$ da $4 e^{4 x} x^{20} - 20 e^{4 x} x^{19}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $4 e^{4 x} x^{19}$ da $4 e^{4 x} x^{20}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{19} (x) - 20 e^{4 x} x^{19}}{x^{40}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $4 e^{4 x} x^{19}$ da $- 20 e^{4 x} x^{19}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{19} (x) + 4 e^{4 x} x^{19} (- 5)}{x^{40}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $4 e^{4 x} x^{19}$ da $4 e^{4 x} x^{19} (x) + 4 e^{4 x} x^{19} (- 5)$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{19} (x - 5)}{x^{40}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $x^{19}$ e $x^{40}$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $x^{19}$ da $4 e^{4 x} x^{19} (x - 5)$ .

$\frac{x^{19} (4 e^{4 x} (x - 5))}{x^{40}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $x^{19}$ da $x^{40}$ .

$\frac{x^{19} (4 e^{4 x} (x - 5))}{x^{19} x^{21}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{19} (4 e^{4 x} (x - 5))}{x^{19} x^{21}}$

Passaggio 5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 e^{4 x} (x - 5)}{x^{21}}$