Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{9 + 4 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 9 + 4 x$ .

$\frac{(9 + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(9 + 4 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $9 + 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \cdot 1}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (4 x)) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 9 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 (x \cdot x)) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x^{2}) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{18 x + 8 x^{2} - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{18 x + 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{4 x^{2} + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $2 x$ da $4 x^{2} + 18 x$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $2 x$ da $18 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x) + 2 x (9)$ .

$\frac{2 x (2 x + 9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$