Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \log_{9} (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3

La derivata di $\log_{9} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{x^{3} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $x$ da $x \ln (9)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$ per $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ .

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Combina.

$\frac{\ln (9) (\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $\ln (9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) (3 x^{2}))}{\ln (9) x^{6}}$

Passaggio 8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- 3 \log_{9} (x) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $- 3 \log_{9} (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

Passaggio 9.1.2

Riordina i fattori in $x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{\ln (9) x^{6}}$

Passaggio 9.2

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

Passaggio 9.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

Passaggio 9.3.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

Passaggio 9.3.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))$ .

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

Passaggio 9.4

Espandi $\log_{9} (x^{3})$ spostando $3$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{6} \ln (9)}$

Passaggio 9.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6} \ln (9)$ .

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

Passaggio 9.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

Passaggio 9.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x))}{x^{4} \ln (9)}$

Passaggio 9.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1 - 3 \ln (9) \log_{9} (x)}{x^{4} \ln (9)}$