Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 9 x + 39}{x - 7}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 9 x + 39$ e $g (x) = x - 7$ .

$\frac{(x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 39] - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9 x + 39$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]$ .

$\frac{(x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $39$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $39$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 + 0) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x - 9$ e $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (1 + 0)}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) \cdot 1}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39)}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(x - 7) (2 x - 9)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x - 9) - 7 (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Sposta $- 9$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 14 x - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 7$ per $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 14 x + 63 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Sottrai $14 x$ da $- 9 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} + 9 x - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $39$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} + 9 x - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 23 x + 63 + 9 x - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 23 x$ e $9 x$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 63 - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $39$ da $63$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 24}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2} - 14 x + 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $24$ e la cui somma è $- 14$ .

$- 12, - 2$

Passaggio 3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 12) (x - 2)}{{(x - 7)}^{2}}$