Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 3$ e $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (x - 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} - - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $x^{2} - 4 x + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$