Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ come ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} + 4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 8$ e $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Passaggio 4.2.3

$x$ e $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Sposta $8$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Applica la regola del prodotto a $4 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $16$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.4.2.1

Scomponi $8$ da $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Passaggio 4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Passaggio 4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$