Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 - 4 x}}$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 - 4 x}$ come ${(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 7 - 4 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - 4 x$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 7.2

${(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Passaggio 9

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Passaggio 10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 11

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$4 \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.2

$4$ e $\frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.1

Scomponi $2$ da $2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 15.1

Moltiplica $\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 15.2

Riordina i termini.

$\frac{2}{{(- 4 x + 7)}^{\frac{3}{2}}}$