Calcolo Esempi

$f (x) = | x^{2} - 4 |$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + 0)$

Passaggio 2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x)$

Passaggio 2.4.2

$2$ e $\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |} x$

Passaggio 2.4.3

$\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |}$ e $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$