Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} + 5 x^{3}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{6}{x^{3}} + 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$6 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$6 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$6 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$6 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$- 18 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 18 x^{- 4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 18 x^{- 4} + 5 (3 x^{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- 18 x^{- 4} + 15 x^{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 18$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 18}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{18}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$15 x^{2} - \frac{18}{x^{4}}$