Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{8}{\sqrt{4 - x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x}$ come ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 8

${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Sposta ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Passaggio 10

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Passaggio 11

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Passaggio 12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Passaggio 13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Passaggio 14

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 15

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 16

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 17

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 18

Moltiplica.

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Passaggio 18.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 18.2

Moltiplica $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 19

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 20

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 20.1

Moltiplica $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 20.2

Riordina i termini.

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$