Calcolo Esempi

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica $x \frac{2 x}{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

$x$ e $\frac{2 x}{1 + x}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

Passaggio 1.1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

Passaggio 1.1.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

Passaggio 1.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

Passaggio 1.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $x^{2} (1 + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.1.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.1.5.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica $2 x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

Passaggio 3.2.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

Passaggio 3.2.2.2.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

Passaggio 3.2.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $2 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $2 x^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Passaggio 3.2.3.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Passaggio 3.2.3.4

Somma $x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.4

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{3} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{3}$ .

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.2.4.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

Passaggio 3.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 3.2.6

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.6.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 3.2.6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.7

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 3.2.7.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 3.2.7.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.7.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (3 x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ vera.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{1}{3}$

Forma decimale:

$x = 0.\overline{3}$