Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x} + \frac{8}{x^{4}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x} + \frac{8}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt{x}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.14

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.14.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.14.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.14.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.14.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$4 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.14.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.15

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.16

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.17

$- 4$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.18

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.19.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 4.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 4.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 4.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 4.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 4.8

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} - 32 x^{- 5}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - 32 x^{- 5}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - 32 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} - 32 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 5.3.2

$- 32$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 32}{x^{5}}$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{32}{x^{5}}$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{32}{x^{5}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$