Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 9

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $1 - \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $\frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5 (- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (- \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (- \cos^{2} (x)) + 5 (1 \sin (x)) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 (1 \sin (x)) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.1.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.1.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 11.3.1.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.1.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1})}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.2

Sposta $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.3

Scomponi $- 5$ da $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.4

Scomponi $- 5$ da $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 (\sin^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.5

Scomponi $- 5$ da $- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.6

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{- 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 5 \cdot 1 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.8

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{- 5 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.4

Scomponi $5$ da $- 5 + 5 \sin (x)$ .

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Passaggio 11.4.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.4.2

Scomponi $5$ da $5 \cdot - 1 + 5 \sin (x)$ .

$\frac{5 (- 1 + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{5 (- 1 (1) + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.6

Scomponi $- 1$ da $\sin (x)$ .

$\frac{5 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{5 (- 1 (1 - \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$