Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $40$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite di $32$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 4$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite inserendo $- 4$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 4$ per $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 4$ per $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.7.1.2

Moltiplica $8$ per $16$ .

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.7.1.3

Moltiplica $40$ per $- 4$ .

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai $160$ da $128$ .

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.2.7.3

Somma $- 32$ e $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 4$ per $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Passaggio 1.1.3.3

Somma $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} + 40 x + 32$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 x$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $40$ per $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $16 x + 40$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $16 x + 40$ per $1$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 4$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $16$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $40$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 4$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 4$ per $x$ .

$16 \cdot - 4 + 40$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $16$ per $- 4$ .

$- 64 + 40$

Passaggio 4.2

Somma $- 64$ e $40$ .

$- 24$