Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sqrt{x} + 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.10

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.12

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 2.13

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 e^{x}$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$3 e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$