Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.2

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ come ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 x + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x + 12 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.10.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.11

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.12

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.13

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{- 3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.13.1

Sposta $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.13.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.13.3

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.13.4

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.13.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.13.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.13.6.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.13.6.2

Somma $- 6$ e $1$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.13.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.14

Sposta $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.15

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$8 x - 12 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.16

$- 12$ e $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$8 x + \frac{- 12 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.17

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$8 x + \frac{- 36}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.18

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.19

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.19.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.19.2

Elimina il fattore comune.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.19.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x + \frac{- 18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + 0$

Passaggio 4.2

Somma $8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$ e $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$