Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{5}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{5}] + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 1$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 1$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$5 (x (20 {(x^{4} + 1)}^{4} x^{3}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (x^{3} x^{1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 (x^{3 + 1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Somma $3$ e $1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \cdot 1)$

Passaggio 9

Moltiplica ${(x^{4} + 1)}^{5}$ per $1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5})$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $20$ per $5$ .

$100 (x^{4} ({(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Passaggio 10.3

Scomponi $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ da $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4} + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ da $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ da $5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ da $5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4} + x^{4} + 1)$

Passaggio 10.4

Somma $20 x^{4}$ e $x^{4}$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (21 x^{4} + 1)$