Calcolo Esempi

$x e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $x e^{x}$ come funzione.

$f (x) = x e^{x}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 2.1.1.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Passaggio 2.1.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2.4

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Riordina i termini.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Passaggio 2.1.2.4.3

Riordina i fattori in $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.2.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (x + 2) = 0$ vera.

$x = - 2$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Passaggio 5.2.1.2

$- 4$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Passaggio 5.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Passaggio 5.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

Passaggio 5.2.1.5

$2$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Somma $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- \frac{2}{e^{4}}$ .

$- \frac{2}{e^{4}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (- 4)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 2, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

Passaggio 6.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 2, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8