Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 48 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $48$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{2} = 48$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 48$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 48$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $48$ per $12$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2, - 2$ .

$2, - 2$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} - 48$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = 12 \cdot 9 - 48$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $9$ .

$f' (- 3) = 108 - 48$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $48$ da $108$ .

$f' (- 3) = 60$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $60$ .

$60$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $60$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 48$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $48$ da $0$ .

$f' (0) = - 48$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 48$ .

$- 48$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 48$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2, 2)$ .

Decrescente su $(- 2, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 48$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 48$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $9$ .

$f' (3) = 108 - 48$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $48$ da $108$ .

$f' (3) = 60$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $60$ .

$60$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $60$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- 2, 2)$

Passaggio 9