Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 9}$ come ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.11

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 1.1.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 1.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.11.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{x^{2} + 9}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} + 9}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt{0 + 9}$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $9$ .

$\sqrt{9}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 3)$

Passaggio 5