Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

Passaggio 3.2

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

Passaggio 3.2.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

Passaggio 3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

Passaggio 3.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

Passaggio 3.5

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

Passaggio 3.6

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

Passaggio 3.7

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Espandi $\ln (e^{y + 1})$ spostando $y + 1$ fuori dal logaritmo.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

Passaggio 3.7.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $y + 1$ per $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

Passaggio 3.8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

Passaggio 5.2.3.1.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Passaggio 5.2.3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Passaggio 5.2.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Passaggio 5.2.3.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Passaggio 5.2.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

Passaggio 5.2.3.2

Combina i termini opposti in $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

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Passaggio 5.2.3.2.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

Passaggio 5.2.3.2.2

Somma $e^{x + 1}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x + 1$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Passaggio 5.2.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\ln (2 x + 4)$ e $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Passaggio 5.3.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Passaggio 5.3.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Passaggio 5.3.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

Passaggio 5.3.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

Passaggio 5.3.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$