Calcolo Esempi

$f (x) = \cot (- x) + \sec (π x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cot (- x) + \sec (π x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cot (- x)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cot (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$- \csc^{2} (- x) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \csc^{2} (- x) (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \csc^{2} (- x) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\csc^{2} (- x)$ per $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 3.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \cdot 1)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) π$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (- x)$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Poiché $\csc (- x)$ è una funzione dispari, riscrivi $\csc (- x)$ come $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- \csc (x))}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola del prodotto a $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- 1)}^{2} \csc^{2} (x)$

Passaggio 4.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + 1 \csc^{2} (x)$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $\csc^{2} (x)$ per $1$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (x)$