Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x}{x^{5} - 12}$ per $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{5} - 12$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.3

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.4

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{x}{x^{5} - 12}$ per $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

Passaggio 11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.1

Scomponi $x$ da $(x^{5} - 12) x^{2}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Passaggio 11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Passaggio 12.3.2

Sottrai $x^{5}$ da $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Passaggio 12.4

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.4.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ .

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Passaggio 12.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

Passaggio 12.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

Passaggio 12.4.2

Somma $5$ e $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

Passaggio 12.5

Scomponi $4$ da $4 x^{5} + 12$ .

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Passaggio 12.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{5}$ .

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

Passaggio 12.5.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

Passaggio 12.5.3

Scomponi $4$ da $4 x^{5} + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

Passaggio 12.6

Scomponi $x$ da $x^{6} - 12 x$ .

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Passaggio 12.6.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

Passaggio 12.6.2

Scomponi $x$ da $- 12 x$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

Passaggio 12.6.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$