Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} \ln (8 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (8 x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$x^{5} (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{8 x}$ e $x^{5}$ .

$\frac{x^{5}}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{4}}{8} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.4.1

$8$ e $\frac{x^{4}}{8}$ .

$\frac{8 x^{4}}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x^{4}}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (8 x) (5 x^{4})$

Passaggio 3.8

Riordina i termini.

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (8 x)$