Calcolo Esempi

$f (x) = x^{7} {(4 - x)}^{8}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = {(4 - x)}^{8}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{8}] + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$x^{7} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7} \cdot 1) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + {(4 - x)}^{8} (7 x^{6})$

Passaggio 3.9

Sposta $7$ alla sinistra di ${(4 - x)}^{8}$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + 7 \cdot {(4 - x)}^{8} x^{6}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Scomponi $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ da $x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + 7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ da $x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7})$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + 7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ da $7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + x^{6} {(4 - x)}^{7} (7 (4 - x))$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ da $x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + x^{6} {(4 - x)}^{7} (7 (4 - x))$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8) + 7 (4 - x))$

Passaggio 4.2

Sposta $- 8$ alla sinistra di $x$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (- 8 x + 7 (4 - x))$