Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

Passaggio 1

Moltiplica per razionalizzare il numeratore.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Espandi il numeratore usando il metodo FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $x^{4}$ da $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 5 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $- 5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{2}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Passaggio 5.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.7

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

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Passaggio 9.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Passaggio 9.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.3.1

Dividi $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ per $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Passaggio 9.3.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Passaggio 9.3.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 9.3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Passaggio 9.3.3

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Passaggio 9.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{5}{2}$

Forma decimale:

$- 2.5$