Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Passaggio 2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Passaggio 4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la cosecante è continua.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Passaggio 8

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Passaggio 9.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Passaggio 9.2

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{4})$ è $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ per $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ per $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

Passaggio 9.5

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

Passaggio 9.6

Semplifica.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

Passaggio 9.7

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

Passaggio 9.8

Riscrivi $- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ come $- (\sqrt{2} - 2)$ .

$- (\sqrt{2} - 2)$

Passaggio 9.9

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{2} - - 2$

Passaggio 9.10

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{2} + 2$

Forma decimale:

$0.58578643 \dots$