Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 6} - \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 6} - lim_{x \to 0} \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6} - lim_{x \to 0} \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6} - lim_{x \to 0} \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6} - lim_{x \to 0} \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $\sqrt{6}$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6} - \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 6} - \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Somma $0$ e $6$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $\sqrt{6}$ da $\sqrt{6}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 6}$ come ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 6$ .

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Passaggio 1.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [6]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.13

Moltiplica $\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.14

Sposta ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- \sqrt{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sqrt{6}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x + 6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 6}} \cdot 1$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x + 6}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 6}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 6}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 6}}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 6}}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6}}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6}}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 6}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Somma $0$ e $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Passaggio 4.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 4.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Passaggio 4.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Passaggio 4.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

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Passaggio 4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6^{1}}$

Passaggio 4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{6}}{12}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{6}}{12}$

Forma decimale:

$0.20412414 \dots$