Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{8}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(7 x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{({(7 x - 6)}^{8})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(7 x - 6)}^{8})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{8 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica ${(7 x - 6)}^{8}$ per $1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = 7 x - 6$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (8 {(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 4.2

Scomponi ${(7 x - 6)}^{7}$ da ${(7 x - 6)}^{8} - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi ${(7 x - 6)}^{7}$ da ${(7 x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi ${(7 x - 6)}^{7}$ da $- 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi ${(7 x - 6)}^{7}$ da ${(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi ${(7 x - 6)}^{7}$ da ${(7 x - 6)}^{16}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{7} {(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{7} {(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 7

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 9

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 10

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 11

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 11.1

Somma $7$ e $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $7$ per $- 8$ .

$\frac{7 x - 6 - 56 x}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 11.3

Sottrai $56 x$ da $7 x$ .

$\frac{- 49 x - 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Scomponi $- 1$ da $- 49 x$ .

$\frac{- (49 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 12.2

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$\frac{- (49 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 12.3

Scomponi $- 1$ da $- (49 x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (49 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 12.4

Riscrivi $- (49 x + 6)$ come $- 1 (49 x + 6)$ .

$\frac{- 1 (49 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Passaggio 12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{49 x + 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$