Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 48 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} - 48$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 48]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 x + 0$

Passaggio 1.1.2.3.2

Somma $24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x$ .

$24 x$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $24 x = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$24 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x = 0$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{24}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $24$ .

$x = 0$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = 24 (- 2)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $24$ per $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 48$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $- 48$ .

$- 48$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = 24 (2)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $24$ per $2$ .

$f'' (2) = 48$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7