Calcolo Esempi

$f (x) = e^{\log (\sin (3 x))}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \log (\sin (3 x))$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\log (\sin (3 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\log (\sin (3 x))$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (3 x)$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\log (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (3 x)$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Passaggio 3

$\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)}$ e $e^{\log (\sin (3 x))}$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $3 x$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $3 x$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\cos (3 x)$ e $\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.3

$3$ e $\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{3 (\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))})}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \cdot 1$

Passaggio 5.5

Moltiplica $\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ per $1$ .

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riordina i fattori in $3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cos (3 x)}{\sin (3 x) \ln (10)}$

Passaggio 6.2

Frazioni separate.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Passaggio 6.3

Converti da $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ a $\cot (3 x)$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cot (3 x)$

Passaggio 6.4

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)}$ e $\cot (3 x)$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cot (3 x)}{\ln (10)}$