Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{t - 5}{t^{2} + 10 t + 25}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t - 5$ e $g (t) = t^{2} + 10 t + 25$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [t - 5] - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + 0) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \cdot 1 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $t^{2} + 10 t + 25$ per $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 10 t + 25$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $10 t$ rispetto a $t$ è $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + 0)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Somma $2 t + 10$ e $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t - - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t + 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(- t + 5) (2 t + 10)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t + 10) + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.3.1.2.1

Sposta $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.4

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.6

Moltiplica $5$ per $10$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Somma $- 10 t$ e $10 t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 0 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.3

Somma $- 2 t^{2}$ e $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2 t^{2}$ da $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 25 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $25$ e $50$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 75 = - 75$ e la cui somma è $b = 10$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $10$ da $10 t$ .

$\frac{- t^{2} + 10 (t) + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi $10$ come $- 5$ più $15$ .

$\frac{- t^{2} + (- 5 + 15) t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- t^{2} - 5 t + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- t^{2} - 5 t) + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{t (- t - 5) - 15 (- t - 5)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- t - 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.4.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 5^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 t = 2 \cdot t \cdot 5$

Passaggio 3.4.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = t$ e $b = 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Usa il teorema binomiale.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 t^{3} \cdot 5 + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Passaggio 3.4.4.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 25 + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Passaggio 3.4.4.3

Moltiplica $25$ per $6$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Passaggio 3.4.4.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 125 + 5^{4}}$

Passaggio 3.4.4.5

Moltiplica $125$ per $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 5^{4}}$

Passaggio 3.4.4.6

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 625}$

Passaggio 3.4.5

Rendi ogni termine uguale ai termini dalla formula del teorema binomiale.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}}$

Passaggio 3.4.6

Fattorizza $t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}$ usando il teorema dei binomi.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $- t - 5$ e ${(t + 5)}^{4}$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- t$ .

$\frac{(- (t) - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (t) - 1 (5)) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (t) - 1 (5)$ .

$\frac{- (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi $- (t + 5)$ come $- 1 (t + 5)$ .

$\frac{- 1 (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5

Scomponi $t + 5$ da $- 1 (t + 5) (t - 15)$ .

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{{(t + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.5.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Scomponi $t + 5$ da ${(t + 5)}^{4}$ .

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Passaggio 3.5.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Passaggio 3.5.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (t - 15)}{{(t + 5)}^{3}}$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t - 15}{{(t + 5)}^{3}}$