Calcolo Esempi

$j (x) = \frac{4 x + 11}{x^{2} - 3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x + 11$ e $g (x) = x^{2} - 3$ .

$\frac{(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 11] - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (4 + \frac{d}{d x} [11]) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (4 + 0) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3) \cdot 4 - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2} - 3$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 3) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - (4 x + 11) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - (4 x + 11) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - (4 x + 11) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - (4 x + 11) (2 x)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - 2 (4 x + 11) x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3 - 2 (4 x + 11) x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 11) x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3 - 2 (4 x) x - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 2 (4 x) x - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 8 x^{2} - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $11$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 8 x^{2} - 22 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 12 - 22 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$\frac{- 4 x^{2} - 22 x - 12}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $2$ da $- 4 x^{2} - 22 x - 12$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) - 22 x - 12}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $2$ da $- 22 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) - 12}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (- 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.4

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.5

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} - 11 x - 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - 11 x - 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- 11 x$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - (11 x) - 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2}) - (11 x)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} + 11 x) - 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} + 11 x) - 1 (6))}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2} + 11 x) - 1 (6)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} + 11 x + 6))}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riscrivi $- (2 x^{2} + 11 x + 6)$ come $- 1 (2 x^{2} + 11 x + 6)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x^{2} + 11 x + 6))}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (2 x^{2} + 11 x + 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$