Calcolo Esempi

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ .

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $e^{x} + \frac{1}{x}$ per $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Passaggio 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Passaggio 5.3.2

Combina.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Passaggio 5.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Passaggio 5.6

Scomponi $x$ da $x e^{x} + x \ln (x)$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $x$ da $x e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $x$ da $x \ln (x)$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $x$ da $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$