Calcolo Esempi

$g (t) = \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = e^{2 t}$ e $g (t) = 1 + e^{2 t}$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) \frac{d}{d t} [e^{2 t}] - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 t$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \cdot 1) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $(1 + e^{2 t}) e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{2 t}) e^{2 t}) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{2 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} \frac{d}{d t} [e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t + 2 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 6

Somma $2 t$ e $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} (2 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \cdot 1}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.3.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.2

Moltiplica $e^{2 t}$ per $e^{2 t}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.3.1.2.1

Sposta $e^{2 t}$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 (e^{2 t} e^{2 t}) - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t + 2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.2.3

Somma $2 t$ e $2 t$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Combina i termini opposti in $2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}$ .

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Passaggio 11.3.2.1

Sottrai $2 e^{4 t}$ da $2 e^{4 t}$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 0}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Passaggio 11.3.2.2

Somma $2 e^{2 t}$ e $0$ .

$\frac{2 e^{2 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$