Calcolo Esempi

$g (t) = {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{9}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{9}$ e $g (t) = \frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t - 2$ e $g (t) = 2 t + 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \frac{d}{d t} [t - 2] - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + 0) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \cdot 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2 t + 1$ per $1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + 0)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.10.1

Somma $2$ e $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \cdot 2}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10.3

$\frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$ e $9$ .

$\frac{(2 t + 1 - 2 (t - 2)) \cdot 9}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

Passaggio 3.10.4

Sposta $9$ alla sinistra di $2 t + 1 - 2 (t - 2)$ .

$\frac{9 \cdot (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 t - 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 (2 t) + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{18 t + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{18 t + 9 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.4

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 \cdot 4}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.5

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.6

Sottrai $18 t$ da $18 t$ .

$\frac{0 + 9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.7

Somma $0$ e $9$ .

$\frac{9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.8

Somma $9$ e $36$ .

$\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.9

Moltiplica $\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}}$ per $\frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$ .

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2} {(2 t + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.10

Moltiplica ${(2 t + 1)}^{2}$ per ${(2 t + 1)}^{8}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.10.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2 + 8}}$

Passaggio 4.4.10.2

Somma $2$ e $8$ .

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{10}}$