Calcolo Esempi

$g (t) = t^{2} \ln (e^{2 t} + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \ln (e^{2 t} + 1)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (e^{2 t} + 1)] + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = e^{2 t} + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{2 t} + 1$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$t^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{2 t} + 1$ .

$t^{2} (\frac{1}{e^{2 t} + 1} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{e^{2 t} + 1}$ e $t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1] + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 t} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 t}$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 e^{2 t} + 0) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.5.1

Somma $2 e^{2 t}$ e $0$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 e^{2 t}) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.5.2

$2$ e $\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1}$ .

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 1} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.5.3

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 1}$ e $e^{2 t}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \ln (e^{2 t} + 1) (2 t)$

Passaggio 6

Per scrivere $\ln (e^{2 t} + 1) (2 t)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{2 t} + 1}{e^{2 t} + 1}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \frac{\ln (e^{2 t} + 1) (2 t) (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 1) (2 t) (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + 2 \ln (e^{2 t} + 1) t (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

Passaggio 8.1.1.2

Semplifica $2 \ln (e^{2 t} + 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

Passaggio 8.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t \cdot 1}{e^{2 t} + 1}$

Passaggio 8.1.1.4

Moltiplica $\ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})$ per $1$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

Passaggio 8.1.2

Riordina i fattori in $2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

Passaggio 8.2

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{2 t} t^{2} + e^{2 t} t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$