Calcolo Esempi

$g (x) = e^{x} \ln (3 x + 11)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (3 x + 11)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 11)] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x + 11$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x + 11$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 11$ .

$e^{x} (\frac{1}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{3 x + 11}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.6

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + 0) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \cdot 3 + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.7.2

$\frac{e^{x}}{3 x + 11}$ e $3$ .

$\frac{e^{x} \cdot 3}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.7.3

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$\frac{3 \cdot e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) e^{x}$

Passaggio 5

Per scrivere $\ln (3 x + 11) e^{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x + 11}{3 x + 11}$ .

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \frac{\ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x) + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

Passaggio 7.1.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica $11 \ln (3 x + 11)$ spostando $11$ all'interno del logaritmo.

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

Passaggio 7.1.1.4

Semplifica $3 \ln (3 x + 11)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

Passaggio 7.1.2

Riordina i fattori in $3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} + x e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11})}{3 x + 11}$

Passaggio 7.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11}) + 3 e^{x}}{3 x + 11}$